Différence entre orthogonal et orthonormal

Orthogonal vs orthonormal

En mathématiques, les deux mots orthogonaux et orthonormaux sont fréquemment utilisés avec un ensemble de vecteurs. Ici, le terme «vecteur» est utilisé dans le sens où il s'agit d'un élément d'un espace vectoriel - une structure algébrique utilisée dans l'algèbre linéaire. Pour notre discussion, nous considérerons un espace de produit intérieur - un espace vectoriel V avec un produit intérieur [] défini sur V.

À titre d'exemple, pour un produit intérieur, l'espace est l'ensemble de tous les vecteurs de position en trois dimensions avec le produit DOT habituel.

Qu'est-ce que l'orthogonale?

Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit intérieur V est dit orthogonal, si et seulement si pour chacun distinct u, V dans S, [u, v] = 0; je.e. le produit intérieur de u et V est égal au scalaire zéro dans l'espace produit intérieur.

Par exemple, dans l'ensemble de tous les vecteurs de position en 3 dimensions, cela équivaut à dire que pour chaque paire de vecteurs de position distincte p et q en, p et q sont perpendiculaires les uns aux autres. (N'oubliez pas que le produit intérieur de cet espace vectoriel est le produit DOT. De plus, le produit DOT de deux vecteurs est égal à 0 si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre.)

Considérez l'ensemble S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), qui est un sous-ensemble des vecteurs de position en trois dimensions. Observer que (0,2,0).(4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Par conséquent, l'ensemble S est orthogonal. En particulier, deux vecteurs seraient orthogonaux si leur produit intérieur est 0. Par conséquent, chaque paire de vecteurs dans Sest orthogonal.

Qu'est-ce que l'orthonormal?

Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit intérieur V est dit orthonormal si et seulement si S est orthogonal et pour chaque vecteur u dans S, [u, u] = 1. Par conséquent, on peut voir que chaque ensemble orthonormal est orthogonal mais pas vice versa.

Par exemple, dans l'ensemble de tous les vecteurs de position en 3 dimensions, cela équivaut à dire que pour chaque paire de vecteurs de position distincte p et q dans S, p et q sont perpendiculaires les uns aux autres, et pour chacun p dans S, | P | = 1. C'est parce que la condition [p, p] = 1 réduit à p.P = | P || P |cos0 = | P |²= 1, ce qui équivaut à | P | = 1. Par conséquent, étant donné un ensemble orthogonal, nous pouvons toujours former un ensemble orthormal correspondant en divisant chaque vecteur par sa magnitude.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) est un sous-ensemble orthonormal de l'ensemble de tous les vecteurs de position tridimensionnelle. Il est facile de voir qu'il a été obtenu en divisant chacun des vecteurs de l'ensemble S, par leurs amplitudes.

Quelle est la différence entre orthogonal et orthonormal?

• Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit intérieur V serait orthogonal, si et seulement si pour chaque distinct u, V dans S, [u, v] = 0. Cependant, il est orthonormal, si et seulement si une condition supplémentaire - pour chaque vecteur u dans S, [u, u] = 1 est satisfait.
• Tout ensemble orthonormal est orthogonal mais pas vice-versa.
• Tout ensemble orthogonal correspond à un ensemble orthonormal unique, mais un ensemble orthonormal peut correspondre à de nombreux ensembles orthogonaux.