Différence entre Laplace et Fourier Transforts

Laplace vs Fourier Transforts
 

La transformée de Laplace et la transformée de Fourier font des transformations intégrales, qui sont le plus souvent utilisées comme méthodes mathématiques pour résoudre les systèmes physiques modélisés mathématiquement. Le processus est simple. Un modèle mathématique complexe est converti en un modèle de résolution plus simple en utilisant une transformation intégrale. Une fois le modèle plus simple résolu, la transformation intégrale inverse est appliquée, ce qui fournirait la solution au modèle d'origine.

Par exemple, comme la plupart des systèmes physiques entraînent des équations différentielles, elles peuvent être converties en équations algébriques ou à un degré plus bas. Ensuite, résoudre le problème deviendra plus facile.

Quelle est la transformée de Laplace?

Étant donné une fonction F (t) d'une véritable variable t, sa transformée de Laplace est définie par l'intégrale [latex] f (s) = \\ int_ 0 ^ \\ infty e ^ - st f (t) dt [/ latex] (chaque fois qu'il existe), qui est fonction d'une variable complexe s. Il est généralement indiqué par l F (t). La transformée de la Laplace inverse d'une fonction F(s) est considéré comme la fonction F (t) de telle manière que l F (t) = F(s), et dans la notation mathématique habituelle que nous écrivons, l ^-1F(s) = F (t).La transformation inverse peut être rendue unique si les fonctions nulles ne sont pas autorisées. On peut identifier ces deux comme des opérateurs linéaires définis dans l'espace de la fonction, et il est également facile de voir que, L ^-1L F (t) = F (t), si les fonctions nulles ne sont pas autorisées.

Le tableau suivant répertorie les transformations de Laplace de certaines des fonctions les plus courantes.

Quelle est la transformée de Fourier?

Étant donné une fonction F (t) d'une véritable variable t, sa transformée de Laplace est définie par l'intégrale [latex] f (\\ alpha) = \\ frac 1 \\ sqrt 2 \\ pi \\ int _ - \\ infty ^ \\ infty e ^ i \\ alpha t f (t) dt [/ latex] (chaque fois qu'il existe), et est généralement indiqué par f F (t). La transformée inverse f ^-1F(α) est donné par l'intégrale [latex] f (t) = \\ frac 1 \\ sqrt 2 \\ pi \\ int _ - \\ infty ^ \\ infty e ^ -i \\ alpha t f (\\ alpha) d \\ alpha [/ latex]. La transformée de Fourier est également linéaire et peut être considérée comme un opérateur défini dans l'espace de fonction.

En utilisant la transformée de Fourier, la fonction d'origine peut être écrite comme suit à condition que la fonction n'a que le nombre fini de discontinuités et est absolument intégrable.

Quelle est la différence entre le Laplace et le Fourier se transforme?

• Transformée de Fourier d'une fonction F (t) est défini comme [latex] f (\\ alpha) = \\ frac 1 \\ sqrt 2 \\ pi \\ int _ - \\ infty ^ \\ infty e ^ i \\ alpha t f (t) dt [/ latex], tandis que la transformée de Laplace est définie comme [latex] f (s) = \\ int_ 0 ^ \\ infty e ^ - st f (t) dt [/ latex].
• La transformée de Fourier est définie uniquement pour les fonctions définies pour tous les nombres réels, tandis que la transformée de Laplace ne nécessite pas que la fonction soit définie sur le réglage des nombres réels négatifs.
• Fourier Transform est un cas particulier de la transformation de Laplace. On peut voir que les deux coïncident pour des nombres réels non négatifs. (je.e. prendre s dans le Laplace pour être iα + β où α et β sont réels tels que e ^β= ¹/ /_{√ (2ᴫ)})
• Chaque fonction qui a une transformée de Fourier aura une transformation de Laplace mais pas vice-versa.