Différence entre l'intégration et la sommation

Intégration vs sommation
 

Dans les mathématiques au-dessus du secondaire, l'intégration et la sommation se trouvent souvent dans les opérations mathématiques. Ils sont apparemment utilisés comme différents outils et dans différentes situations, mais ils partagent une relation très étroite.

En savoir plus sur le résumé

La sommation est le fonctionnement de l'ajout d'une séquence de nombres et l'opération est souvent indiquée par la lettre grecque de capital Sigma σ. Il est utilisé pour abréger la sommation et égal à la somme / total de la séquence. Ils sont souvent utilisés pour représenter la série, qui sont essentiellement des séquences infinies résumées. Ils peuvent également être utilisés pour indiquer la somme des vecteurs, des matrices ou des polynômes.

La sommation est généralement effectuée pour une gamme de valeurs qui peuvent être représentées par un terme général, comme une série qui a un terme commun. Le point de départ et le point final de la sommation sont connus comme la limite inférieure et la limite supérieure de la sommation, respectivement.

Par exemple, la somme de la séquence a₁, un₂, un₃, un₄, … , un_n est un₁ + un₂ + un₃ +… + A_n qui peut être facilement représenté en utilisant la notation de sommation comme ∑ⁿ_{i = 1} un_je; Je s'appelle l'indice de sommation.

De nombreuses variations sont utilisées pour la sommation en fonction de l'application. Dans certains cas, la limite supérieure et la limite inférieure peut être donnée comme un intervalle ou une plage, comme ∑_1≤i≤100 un_je et ∑_{i∈ [1,100]} un_je. Ou il peut être donné comme un ensemble de nombres comme ∑_i∈P un_je , où p est un ensemble défini.

Dans certains cas, deux signes Sigma ou plus peuvent être utilisés, mais ils peuvent être généralisés comme suit; ∑_J ∑_k un_jk = ∑_{J, K} un_jk.

De plus, le résumé suit de nombreuses règles algébriques. Étant donné que l'opération intégrée est l'addition, bon nombre des règles communes de l'algèbre peuvent être appliquées aux sommes elle-même et aux termes individuels représentés par la sommation.

En savoir plus sur l'intégration

L'intégration est définie comme le processus inverse de différenciation. Mais dans sa vue géométrique, il peut également être considéré comme la zone enfermée par la courbe de la fonction et l'axe. Par conséquent, le calcul de la zone donne la valeur d'une intégrale définie comme indiqué dans le diagramme.

Source de l'image: http: // en.Wikipédia.org / wiki / fichier: Riemann_sum_convergence.PNG

La valeur de l'intégrale définie est en fait la somme des petites bandes à l'intérieur de la courbe et de l'axe. La zone de chaque bande est la hauteur × largeur au point de l'axe considéré. La largeur est une valeur que nous pouvons choisir, disons ∆x. Et la hauteur est approximativement la valeur de la fonction au point considéré, disons F(X_je). Du diagramme, il est évident que plus les bandes sont meilleures, les bandes s'adaptent à l'intérieur de la zone délimitée, donc une meilleure approximation de la valeur.

Donc, en général l'intégrale définie je, entre les points A et B (i.e dans l'intervalle [a, b] où unje ≅ F(X₁) ∆x + F(X₂) ∆x + ⋯ + F(X_n) ∆x, où n est le nombre de bandes (n = (b-a) / ∆x). Cette sommation de la zone peut être facilement représentée en utilisant la notation de sommation comme je ≅ ∑ⁿ_{i = 1} F(X_je) ∆x. Étant donné que l'approximation est meilleure lorsque ∆x est plus petit, nous pouvons calculer la valeur lorsque ∆x → 0. Par conséquent, il est raisonnable de dire je = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} F(X_je) ∆x.

En tant que généralisation du concept ci-dessus, nous pouvons choisir le ∆x basé sur l'intervalle considéré indexé par I (choisir la largeur de la zone en fonction de la position). Ensuite, nous obtenons

je= lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} F(X_je) ∆x_je = _un∫^b F(x) dx

Ceci est connu comme l'intégrale de Reimann de la fonction F(x) dans l'intervalle [a, b]. Dans ce cas, A et B sont connus comme la limite supérieure et la limite inférieure de l'intégrale. Reimann Integral est une forme de base de toutes les méthodes d'intégration.

Essentiellement, l'intégration est la sommation de la zone lorsque la largeur du rectangle est infinitésimale.

Quelle est la différence entre l'intégration et la sommation?

• La sommation est en train de s'ajouter à une séquence de nombres. Habituellement, la sommation est donnée sous cette forme ∑ⁿ_{i = 1} un_je Lorsque les termes de la séquence ont un modèle et peuvent être exprimés en utilisant un terme général.

• L'intégration est essentiellement la zone délimitée par la courbe de la fonction, de l'axe et des limites supérieures et inférieures. Cette zone peut être donnée comme la somme des zones beaucoup plus petites incluses dans la zone délimitée.

• La sommation implique les valeurs discrètes avec les limites supérieures et inférieures, tandis que l'intégration implique des valeurs continues.

• L'intégration peut être interprétée comme une forme spéciale de sommation.

• Dans les méthodes de calcul numérique, l'intégration est toujours effectuée comme sommation.