Différence entre les séries arithmétiques et géométriques

Série arithmétique vs géométrique
 

La définition mathématique d'une série est étroitement liée aux séquences. Une séquence est un ensemble de nombres ordonné et peut être un ensemble fini ou infini. Une séquence de nombres avec la différence entre deux éléments étant une constante est connue sous le nom de progression arithmétique. Une séquence avec un quotient constant de deux nombres successifs est connue sous le nom de progression géométrique. Ces progressions peuvent être finies ou infinies, et si fini, le nombre de termes est dénombrable, sinon innombrable.

Généralement, la somme des éléments dans une progression peut être définie comme une série. La somme d'une progression arithmétique est connue comme une série arithmétique. De même, la somme d'une progression géométrique est connue comme une série géométrique.

En savoir plus sur les séries arithmétiques

Dans une série arithmétique, les termes successifs ont une différence constante.

S_n = A₁ + un₂ + un₃ + un₄ +⋯ + A_n = ∑ⁿ_{i = 1} un_je ; où un₂ = A₁ + D, un₃ = A₂ + D, et ainsi de suite.

Cette différence d est connue comme la différence commune, et le n^e le terme est donné par un_n = A₁+ (n-1) d; où un₁ est le premier terme.

Le comportement de la série change en fonction de la différence commune d. Si la différence commune est positive, la progression a tendance à être une infinité positive, et si la différence commune est négative, elle tend vers l'infini négatif.

La somme de la série peut être obtenue par la formule simple suivante, qui a d'abord été développée par l'astronome indien et le mathématicien Aryabhata.

S_n = n / 2 (A₁+ un_n ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

La somme s_n peut être fini ou infini, en fonction du nombre de termes.

En savoir plus sur les séries géométriques

Une série géométrique est une série avec le quotient des nombres successifs constants. C'est une série importante trouvée dans l'étude de la série, en raison des propriétés qu'il possède.

S_n = ar + ar² + ardente³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} ardente^je

Sur la base du rapport R, le comportement de la série peut être classé comme suit. r = | r | ≥1 séries diverge; La série R≤1 converge. Aussi, si R<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

La somme de la série géométrique peut être calculée en utilisant la formule suivante. S_n = a (1-Rⁿ) / (1-R); où a est le terme initial et r est le rapport. Si le rapport r≤1, la série converge . Pour une série infinie, la valeur de la convergence est donnée par S_n= a / (1-R).

La série géométrique a de nombreuses applications dans les domaines des sciences physiques, de l'ingénierie et de l'économie

Quelle est la différence entre les séries arithmétiques et géométriques?

• Une série arithmétique est une série avec une différence constante entre deux termes adjacents.

• Une série géométrique est une série avec un quotient constant entre deux termes successifs.

• Toutes les séries arithmétiques infinies sont toujours divergentes, mais selon le rapport, la série géométrique peut être convergente ou divergente.

• La série géométrique peut avoir une oscillation dans les valeurs; c'est-à-dire que les chiffres changent alternativement leurs signes, mais la série arithmétique ne peut pas avoir d'oscillations.