Différence entre variables aléatoires et distribution de probabilité

Variables aléatoires vs distribution de probabilité

Les expériences statistiques sont des expériences aléatoires qui peuvent être répétées indéfiniment avec un ensemble connu de résultats. Les variables aléatoires et les distributions de probabilité sont associées à de telles expériences. Pour chaque variable aléatoire, il existe une distribution de probabilité associée définie par une fonction appelée fonction de distribution cumulative.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire?

Une variable aléatoire est une fonction qui attribue des valeurs numériques aux résultats d'une expérience statistique. En d'autres termes, c'est une fonction définie à partir de l'espace d'échantillon d'une expérience statistique dans l'ensemble des nombres réels.

Par exemple, considérez une expérience aléatoire de renverser une pièce deux fois. Les résultats possibles sont HH, HT, Th et TT (H - têtes, t - Tales). Soit la variable X le nombre de têtes observées dans l'expérience. Alors, x peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2, et c'est une variable aléatoire. Ici, la variable aléatoire x mappera l'ensemble s = hh, ht, th, tt (l'espace d'échantillonnage) sur l'ensemble 0, 1, 2 de telle manière que HH est mappé à 2, ht et th sont mappés à 1 et TT est mappé à 0. En notation de fonction, cela peut être écrit comme, x: s → r où x (hh) = 2, x (ht) = 1, x (th) = 1 et x (tt) = 0.

Il existe deux types de variables aléatoires: discrets et continus, en conséquence, le nombre de valeurs possibles qu'une variable aléatoire peut supposer est au plus dénombrable ou non. Dans l'exemple précédent, la variable aléatoire x est une variable aléatoire discrète puisque 0, 1, 2 est un ensemble fini. Maintenant, considérons l'expérience statistique de trouver le poids des élèves dans une classe. Soit Y la variable aléatoire définie comme le poids d'un étudiant. Y peut prendre n'importe quelle valeur réelle dans un intervalle spécifique. Par conséquent, y est une variable aléatoire continue.

Qu'est-ce qu'une distribution de probabilité?

La distribution de probabilité est une fonction qui décrit la probabilité d'une variable aléatoire prenant certaines valeurs.

Une fonction appelée fonction de distribution cumulative (f) peut être définie à partir de l'ensemble de nombres réels à l'ensemble de nombres réels comme f (x) = p (x ≤ x) (la probabilité de x étant inférieure ou égale à x) pour chaque résultat possible x. Maintenant, la fonction de distribution cumulée de x dans le premier exemple peut être écrite comme f (a) = 0, si un<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

En cas de variables aléatoires discrètes, une fonction peut être définie à partir de l'ensemble des résultats possibles à l'ensemble des nombres réels de telle manière que ƒ (x) = p (x = x) (la probabilité de x étant égale à x) Pour chaque résultat possible x. Cette fonction particulière ƒ est appelée fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire x. Maintenant, la fonction de masse de probabilité de x dans le premier exemple particulier peut être écrite comme ƒ (0) = 0.25, ƒ (1) = 0.5, ƒ (2) = 0.25, et ƒ (x) = 0 sinon. Ainsi, la fonction de masse de probabilité avec la fonction de distribution cumulative décrira la distribution de probabilité de x dans le premier exemple.

Dans le cas des variables aléatoires continues, une fonction appelée fonction de densité de probabilité (ƒ) peut être définie comme ƒ (x) = df (x) / dx pour chaque x où f est la fonction de distribution cumulative de la variable aléatoire continue. Il est facile de voir que cette fonction satisfait ∫ƒ (x) dx = 1. La fonction de densité de probabilité ainsi que la fonction de distribution cumulative décrit la distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue. Par exemple, la distribution normale (qui est une distribution de probabilité continue) est décrite en utilisant la fonction de densité de probabilité ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).