Différence entre différenciation et dérivé

Différenciation vs dérivé
 

Dans le calcul différentiel, le dérivé et la différenciation sont étroitement liés, mais très différents et utilisés pour représenter deux concepts mathématiques importants liés aux fonctions.

Qu'est-ce que le dérivé?

La dérivée d'une fonction mesure la vitesse à laquelle la valeur de fonction change à mesure que son entrée change. Dans les fonctions multi-variables, le changement de la valeur de la fonction dépend de la direction du changement des valeurs des variables indépendantes. Par conséquent, dans de tels cas, une direction spécifique est choisie et la fonction est différenciée dans cette direction particulière. Ce dérivé est appelé le dérivé directionnel.  Les dérivés partiels sont un type spécial de dérivés directionnels.

Dérivé d'une fonction à valeur vectorielle F peut être défini comme la limite [latex] \\ frac df d \\ boldsymbol u = \\ lim_ h \ to 0 \\ frac f (\\ boldsymbol x + h \\ boldsymbol u) - f (\\ boldsymbol x) h [/ latex] partout où il existe. Comme mentionné précédemment, cela nous donne le taux d'augmentation de la fonction F le long de la direction du vecteur u. Dans le cas d'une fonction à valeur unique, cela réduit à la définition bien connue du dérivé, [latex] \\ frac df dx = \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac f (x + h) -f (x) h [/ latex]

Par exemple, [latex] f (x) = x ^ 3 + 4x + 5 [/ latex] est partout différenciable, et la dérivée est égale à la limite, [latex] \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac (x + h) ^ 3 +4 (x + h) + 5- (x ^ 3 + 4x + 5) h [/ latex], qui est égal à [latex] 3x ^ 2 +4 [/ latex]. Les dérivés de fonctions telles que [latex] e ^ x, \\ sin x, \\ cos x [/ latex] existent partout. Ils sont respectivement égaux aux fonctions [latex] e ^ x, \\ cos x, - \\ sin x [/ latex].                                                                                

Ceci est connu comme le premier dérivé. Généralement le premier dérivé de la fonction F est noté par F ⁽¹⁾. En utilisant maintenant cette notation, il est possible de définir des dérivés d'ordre supérieur. [latex] \\ frac d ^ 2 f dx ^ 2 = \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac f ^ (1) (x + h) -f ^ (1) (x) h [/ latex] est le dérivé directionnel du deuxième ordre, et dénotant le n^e dérivé par F ⁽ⁿ⁾ pour chaque n, [latex] \\ frac d ^ n f dx ^ n = \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac f ^ (n-1) (x + h) -f ^ (n-1) (x) h [/ latex], définit le n^e dérivé.

Qu'est-ce que la différenciation?

La différenciation est le processus de recherche du dérivé d'une fonction différenciable. D-opérateur indiqué par D représente la différenciation dans certains contextes. Si X est la variable indépendante, alors D ≡ ^d/ /_dx. Le D-opérateur est un opérateur linéaire, i.e. pour deux fonctions différenciables F et g et constant c, les propriétés suivantes.

je.  D(F + g) = D(F) + D (g)

Ii.  D(cf) = CD(F )

En utilisant le D-opérateur, les autres règles associées à la différenciation peuvent être exprimées comme suit. D(F g) = D(F ) g +f d(g) , D(^F/ /_g) = ^{[D(F ) g - f d(g)]}/ /_g² et D(F  o g) = (D(F) o g) D(g).

Par exemple, lorsque f (X) = X²péché X est différencié par rapport à X En utilisant les règles données, la réponse sera 2Xpéché X -+ X²cosX.