Différence entre associatif et commutatif
Associatif vs commutatif
Dans nos vies quotidiennes, nous devons utiliser des chiffres chaque fois que nous avons besoin d'obtenir une mesure de quelque chose. À l'épicerie, à la station-service, et même dans la cuisine, nous devons ajouter, soustraire et multiplier deux quantités ou plus. De notre pratique, nous effectuons ces calculs sans effort. Nous ne remarquons ni ne nous demandons jamais pourquoi nous faisons ces opérations de cette manière particulière. Ou pourquoi ces calculs ne peuvent pas être effectués d'une manière différente. La réponse est cachée dans la façon dont ces opérations sont définies dans le domaine mathématique de l'algèbre.
En algèbre, une opération impliquant deux quantités (comme l'addition) est définie comme une opération binaire. Plus précisément, c'est une opération entre deux éléments d'un ensemble et ces éléments sont appelés «l'opérande». De nombreuses opérations en mathématiques, y compris les opérations arithmétiques, mentionnées plus tôt et celles rencontrées dans la théorie des ensembles, l'algèbre linéaire et la logique mathématique peuvent être définies comme des opérations binaires.
Il existe un ensemble de règles de gouvernance concernant une opération binaire spécifique. Les propriétés associatives et commutatives sont deux propriétés fondamentales des opérations binaires.
En savoir plus sur les biens commutatifs
Supposons qu'une certaine opération binaire, indiquée par le symbole ⊗, est effectuée sur les éléments UN et B. Si l'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat de l'opération, l'opération est censée être commutative. je.e. si UN ⊗ B = B ⊗ UN alors l'opération est commutative.
L'ajout et la multiplication des opérations arithmétiques sont commutatives. L'ordre des nombres additionnés ou multipliés ensemble n'affecte pas la réponse finale:
UN + B = B + UN ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
UN × B = B × UN ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Mais dans le cas d'un changement de division dans l'ordre donne le réciproque de l'autre, et dans la soustraction, le changement donne le négatif de l'autre. Donc,
UN - B ≠ B - UN ⇒ 4 - 5 = -1 et 5 - 4 = 1
UN ÷ B ≠ B ÷ UN ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 et 5 ÷ 4 = 1.25 [Dans ce cas UN,B ≠ 1 et 0]
En fait, la soustraction serait anti-commutative; où UN - B = - (B - UN).
De plus, les connecteurs logiques, la conjonction, la disjonction, l'implication et l'équivalence sont également commutatives. Les fonctions de vérité sont également commutatives. L'union des opérations définies et l'intersection sont commutatives. L'ajout et le produit scalaire des vecteurs sont également commutatifs.
Mais le produit de soustraction vectorielle et de vecteur n'est pas commutatif (le produit vectoriel de deux vecteurs est anti-commutatif). L'ajout de matrice est commutatif, mais la multiplication et la soustraction ne sont pas commutatives. (La multiplication de deux matrices peut être commutative dans des cas spéciaux, tels que la multiplication d'une matrice avec sa matrice inverse ou d'identité; mais certainement les matrices ne sont pas commutatives si les matrices ne sont pas de la même taille)
En savoir plus sur la propriété associative
Une opération binaire serait associative si l'ordre de l'exécution n'affecte pas le résultat lorsque deux ou plusieurs occurrences de l'opérateur sont présentes. Considérez les éléments UN B et C et l'opération binaire ⊗ . L'opération ⊗ est censée être associative si
UN ⊗ B ⊗ C = UN ⊗ (B ⊗ C) = (UN ⊗ B) ⊗ C
D'après les fonctions arithmétiques de base, seuls l'addition et la multiplication sont associatives.
UN + (B + C) = (UN + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
UN × (B × C) = (UN × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
La soustraction et la division ne sont pas associatives;
UN - (B - C) ≠ (UN - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 et (5 - 4) - 3 = -2
UN ÷ (B ÷ C) ≠ (UN ÷ B÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 et (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666
La disjonction, la conjonction et l'équivalence des connecteurs logiques sont associatifs, tout comme le Set Operations Union et Intersection. La matrice et l'ajout de vecteur sont associatifs. Le produit scalaire des vecteurs est associatif, mais le produit vectoriel n'est pas. La multiplication matricielle n'est associative que dans des circonstances particulières.
Quelle est la différence entre les biens commutatifs et associatifs?
• La propriété associative et la propriété commutative sont des propriétés spéciales des opérations binaires, et certains les satisfont et certains ne le font pas.
• Ces propriétés peuvent être vues dans de nombreuses formes d'opérations algébriques et autres opérations binaires en mathématiques, telles que l'intersection et l'union dans la théorie des ensembles ou les connecteurs logiques.
• La différence entre commutative et associative est que la propriété commutative stipule que l'ordre des éléments ne modifie pas le résultat final pendant que la propriété associative indique que l'ordre dans lequel l'opération est effectuée n'affecte pas la réponse finale.
