Différence entre la fonction discrète et la fonction continue

Fonction discrète vs fonction continue

Les fonctions sont l'une des classes les plus importantes d'objets mathématiques, qui sont largement utilisées dans presque tous les sous-champs de mathématiques. Comme leurs noms suggèrent à la fois des fonctions discrètes et des fonctions continues sont deux types spéciaux de fonctions.

Une fonction est une relation entre deux ensembles définis de telle manière que pour chaque élément du premier ensemble, la valeur qui lui correspond dans le deuxième ensemble est unique. Laisser F être une fonction définie à partir de l'ensemble UN en set B. Puis pour chaque xϵ A, le symbole F(x) indique la valeur unique de l'ensemble B qui correspond à x. Il s'appelle l'image de x sous F. Par conséquent, une relation F de a en b est une fonction, si et seulement si pour chacun Xϵ A et y ϵ a; si x = y alors F(X) = F(y). L'ensemble A est appelé le domaine de la fonction F, et c'est l'ensemble dans lequel la fonction est définie.

Par exemple, considérez la relation F de r à r défini par F(x) = x + 2 pour chacun Xϵ A. Ceci est une fonction dont le domaine est r, comme pour chaque nombre réel x et y, x = y implique F(x) = x + 2 = y + 2 = F(y). Mais la relation g de n à n défini par g(x) = a, où 'a' est un facteur premiers de x n'est pas une fonction comme g(6) = 3, ainsi que g(6) = 2.

Qu'est-ce qu'une fonction discrète?

Une fonction discrète est une fonction dont le domaine est au plus dénombrable. Cela signifie simplement qu'il est possible de faire une liste qui comprend tous les éléments du domaine.

Tout ensemble fini est au plus dénombrable. L'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des nombres rationnels sont des exemples pour les ensembles infinis au plus dénombrables. L'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres irrationnels ne sont pas au plus dénombrable. Les deux ensembles sont innombrables. Cela signifie qu'il est impossible de faire une liste qui comprend tous les éléments de ces ensembles.

L'une des fonctions discrètes les plus courantes est la fonction factorielle. F : N u 0 → n défini récursivement par F(n) = nF(n-1) pour chaque n ≥ 1 et F(0) = 1 est appelé la fonction factorielle. Observez que son domaine n u 0 est tout à fait dénombrable.

Qu'est-ce qu'une fonction continue?

Laisser F être une fonction telle que pour chaque k dans le domaine de F, F(x) →F(k) comme x → k. Alors Fest une fonction continue. Cela signifie qu'il est possible de faire F(x) arbitrairement à proximité de F(k) en rendant X suffisamment près de K pour chaque k dans le domaine de F.

Considérez la fonction F(x) = x + 2 sur r. On peut voir que comme x → k, x + 2 → k + 2 c'est F(x) →F(k). Donc, F est une fonction continue. Maintenant, considérez g sur des nombres réels positifs g(x) = 1 si x> 0 et g(x) = 0 si x = 0. Ensuite, cette fonction n'est pas une fonction continue comme la limite de g(x) n'existe pas (et donc il n'est pas égal à g(0)) comme x → 0.