Différence entre dérivé et différentiel

Dérivé vs différentiel
 

Dans le calcul différentiel, la dérivée et le différentiel d'une fonction sont étroitement liés mais ont des significations très différentes, et utilisées pour représenter deux objets mathématiques importants liés à des fonctions différenciables.

Qu'est-ce que le dérivé?

La dérivée d'une fonction mesure la vitesse à laquelle la valeur de fonction change à mesure que son entrée change. Dans les fonctions multi-variables, le changement de la valeur de la fonction dépend de la direction du changement des valeurs des variables indépendantes. Par conséquent, dans de tels cas, une direction spécifique est choisie et la fonction est différenciée dans cette direction particulière. Ce dérivé est appelé le dérivé directionnel.  Les dérivés partiels sont un type spécial de dérivés directionnels.

Dérivé d'une fonction à valeur vectorielle F peut être défini comme la limite [latex] \\ frac df d \\ boldsymbol u = \\ lim_ h \ to 0 \\ frac f (\\ boldsymbol x + h \\ boldsymbol u) - f (\\ boldsymbol x) h [/ latex] partout où il existe. Comme mentionné précédemment, cela nous donne le taux d'augmentation de la fonction F le long de la direction du vecteur u. Dans le cas d'une fonction à valeur unique, cela réduit à la définition bien connue du dérivé, [latex] \\ frac df dx = \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac f (x + h) -f (x) h [/ latex]

Par exemple, [latex] f (x) = x ^ 3 + 4x + 5 [/ latex] est partout différenciable, et la dérivée est égale à la limite, [latex] \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac (x + h) ^ 3 +4 (x + h) + 5- (x ^ 3 + 4x + 5) h [/ latex], qui est égal à [latex] 3x ^ 2 +4 [/ latex]. Les dérivés de fonctions telles que [latex] e ^ x, \\ sin x, \\ cos x [/ latex] existent partout. Ils sont respectivement égaux aux fonctions [latex] e ^ x, \\ cos x, - \\ sin x [/ latex].                                                                                

Ceci est connu comme le premier dérivé. Généralement le premier dérivé de la fonction F est noté par F ⁽¹⁾. En utilisant maintenant cette notation, il est possible de définir des dérivés d'ordre supérieur. [latex] \\ frac d ^ 2 f dx ^ 2 = \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac f ^ (1) (x + h) -f ^ (1) (x) h [/ latex] est le dérivé directionnel du deuxième ordre, et dénotant le n^e dérivé par F ⁽ⁿ⁾ pour chaque n, [latex] \\ frac d ^ n f dx ^ n = \\ lim_ h \\ à 0 \\ frac f ^ (n-1) (x + h) -f ^ (n-1) (x) h [/ latex], définit le n^e dérivé.

Qu'est-ce que le différentiel?

La différentiel d'une fonction représente le changement de la fonction par rapport aux modifications de la variable indépendante ou des variables. Dans la notation habituelle, pour une fonction donnée F d'une seule variable X, le différentiel total de l'ordre 1 DF est donné par, [latex] df = f ^ 1 (x) dx [/ latex]. Cela signifie que pour un changement infinitésimal en X(je.e. dX), il y aura un  F ⁽¹⁾(X)dX changer F.

En utilisant des limites, on peut se retrouver avec cette définition comme suit. Supposons ∆X est le changement en X à un point arbitraire X et ∆F est le changement correspondant dans la fonction F. On peut montrer que ∆f = f ⁽¹⁾(X) ∆X+ ϵ, où ϵ est l'erreur. Maintenant, la limite ∆x →0^∆F/ /_∆X= F ⁽¹⁾(X) (en utilisant la définition précédemment indiquée du dérivé) et donc, ∆x →0^ϵ/ /_∆X= 0. Par conséquent, il est possible de conclure que, ∆x →0ϵ = 0. Maintenant, indiquant ∆x →0 ∆F comme dF et ∆x →0 ∆X comme dX La définition du différentiel est rigoureusement obtenue. 

Par exemple, le différentiel de la fonction [latex] f (x) = x ^ 3 + 4x + 5 [/ latex] est [latex] (3x ^ 2 +4) dx [/ latex].

Dans le cas des fonctions de deux variables ou plus, le différentiel total d'une fonction est défini comme la somme des différentiels dans les directions de chacune des variables indépendantes. Mathématiquement, il peut être indiqué comme [latex] df = \\ sum_ i = 1 ^ n \\ frac \\ partiel f \\ partiel x_ i dx_ i [/ latex].