Différence entre Riemann Integral et Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

L'intégration est un sujet principal du calcul. Dans un sens broder, l'intégration peut être considérée comme le processus inverse de la différenciation. Lors de la modélisation des problèmes du monde réel, il est facile d'écrire des expressions impliquant des dérivés. Dans une telle situation, l'opération d'intégration est nécessaire pour trouver la fonction, qui a donné le dérivé particulier.

Sous un autre angle, l'intégration est un processus, ce qui résume le produit d'une fonction ƒ (x) et Δx, où Δx a tendance à être une certaine limite. C'est pourquoi, nous utilisons le symbole d'intégration comme ∫. Le symbole ∫ est en fait, ce que nous obtenons en étirant la lettre S pour se référer à la somme.

Riemann intégral

Considérez une fonction y = ƒ (x). L'intégrale de y entre un et b, où un et b appartenir à un ensemble x, est écrit comme _b∫^unƒ (x) dx = [F(X)]_un→b = F(b) - F(un). C'est ce qu'on appelle une intégrale définie de la fonction à valeur unique et continue y = ƒ (x) entre a et b. Cela donne la zone sous la courbe entre un et b. Ceci est également appelé Riemann intégral. Riemann Integral a été créé par Bernhard Riemann. L'intégrale de Riemann d'une fonction continue est basée sur la mesure de la Jordanie, par conséquent, il est également défini comme la limite des sommes de Riemann de la fonction. Pour une fonction réelle valorisée définie à un intervalle fermé, l'intégrale de Riemann de la fonction par rapport à une partition x₁, X₂,… , X_n défini sur l'intervalle [a, b] et t₁, t₂,…, T_n, Où x_je ≤ t_je ≤ x_{i + 1} Pour chaque i ε 1, 2,…, n, la somme Riemann est définie comme σ_{i = o à n-1} ƒ (t_je)(X_{i + 1} - X_je).

Lebesgue intégral

Lebesgue est un autre type d'intégrale, qui couvre une grande variété de cas que Riemann Integral. L'intégrale de Lebesgue a été présentée par Henri Lebesgue en 1902. L'intégration de Legmesgue peut être considérée comme une généralisation de l'intégration de Riemann.

Pourquoi avons-nous besoin d'étudier une autre intégrale?

Considérons la fonction caractéristique ƒ_{A (x) = 0 si, x pas ε a}^{1 Si, x ε a} Sur un ensemble A. Puis combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques, qui est définie comme F(x) = σ a_jeƒE_je(x) est appelé la fonction simple si E_je est mesurable pour chacun i. L'intégrale de Lebesgue de F(x) sur E est noté par _E∫ ƒ (x) dx. La fonction F(x) n'est pas intégrable de Riemann. Par conséquent, Lebesgue Integral est Rephrase Riemann Integral, qui a certaines restrictions sur les fonctions à intégrer.