Différence entre les événements mutuellement exclusifs et indépendants

Événements mutuellement exclusifs vs indépendants

Les gens confondent souvent le concept d'événements mutuellement exclusifs avec des événements indépendants. En fait, ce sont deux choses différentes.

Soit A et B deux événements associés à une expérience aléatoire E. P (a) est appelé la «probabilité de a». De même, nous pouvons définir la probabilité de b comme p (b), la probabilité de a ou b comme p (a∪b) et la probabilité de a et b comme p (a∩b). Alors, p (a∪b) = p (a) + p (b) -p (a∩b).

Cependant, deux événements qui s'excluaient mutuellement si l'occurrence d'un événement n'affecte pas l'autre. En d'autres termes, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par conséquent, si deux événements A et B s'excluent mutuellement, alors a∩b = ∅ et donc, cela implique p (a∪b) = p (a) + p (b).

Soit A et B deux événements dans un espace d'échantillon S. La probabilité conditionnelle de a, étant donné que B s'est produit, est indiqué par p (a | b) et est défini comme; P (a | b) = p (a∩b) / p (b), fourni p (b)> 0. (sinon, il n'est pas défini.)

Un événement a est indépendant d'un événement B, si la probabilité que A se produise n'est pas influencée par la question de savoir si B s'est produit ou non. En d'autres termes, l'issue de l'événement B n'a aucun effet sur l'issue de l'événement A. Par conséquent, p (a | b) = p (a). De même, B est indépendant de A si P (B) = P (B | A). Par conséquent, nous pouvons conclure que si A et B sont des événements indépendants, alors p (a∩b) = p (a).P (b)

Supposons qu'un cube numéroté est enroulé et qu'une bonne pièce est retournée. Soit un événement qui obtient une tête et B est l'événement qui roule un numéro égal. Alors nous pouvons conclure que les événements A et B sont indépendants, car ce résultat de l'un n'affecte pas le résultat de l'autre. Par conséquent, p (a∩b) = p (a).P (b) = (1/2) (1/2) = 1/4. Puisque P (a∩b) ≠ 0, A et B ne peuvent pas s'exclure mutuellement.

Supposons qu'une urne contient 7 billes blanches et 8 billes noires. Définir l'événement A comme dessinant un marbre blanc et l'événement B comme dessinant un marbre noir. En supposant que chaque marbre sera remplacé après avoir noté sa couleur, alors P (A) et P (b) seront toujours les mêmes, peu importe combien de fois nous tirons de l'urne. Le remplacement des billes signifie que les probabilités ne changent pas du tirage au dessin, quelle que soit la couleur que nous avons choisie sur le dernier tirage. Par conséquent, les événements A et B sont indépendants.

Cependant, si les billes étaient dessinées sans remplacement, alors tout change. En vertu de cette hypothèse, les événements A et B ne sont pas indépendants. Dessiner un marbre blanc la première fois change les probabilités pour dessiner un marbre noir sur le deuxième tirage et ainsi de suite. En d'autres termes, chaque tirage a un effet sur le tirage suivant, et donc les tirages individuels ne sont pas indépendants.